Teorema de imposibilidad de cuadrícula de ondas verdes

 

 

1. Definiciones.

 

La coordinación de semáforos en onda verde es un método de encendido de semáforos que permite la circulación de vehículos a lo largo de una vía urbana yendo a velocidad constante y sin detenerse. Abreviadamente, esta coordinación se denomina “onda verde”.

 

Para el presente teorema, una cuadrícula se define como un conjunto de vías urbanas de sentidos únicos alternadamente contrarios formando cuadrados iguales y que tiene como mínimo 3 vías urbanas que cruzan a otras 2.

 

2. Hipótesis.

 

Las duraciones de encendido de los semáforos son iguales en todos los cruces.

 

3. Tesis.

 

Una cuadrícula con ondas verdes en todas sus vías urbanas es imposible.

 

4. Demostración.

 

Se construye la figura del modo siguiente:

 

Paso 1:

 

En la figura 1, a escala se trazan cuadrados en perspectiva de 133 metros de lado en color negro. Se ha escogido una forma irregular de cuadrícula para que no hayan puntos inaccesibles a los vehículos y para que la cuadrícula quepa en el ancho de la página.

 

Paso 2:

 

Se trazan los segmentos verdes y rojos que se alzan en la vía urbana 2 en los puntos en que se colocarían los semáforos. En alzado, se indica la variable tiempo. En el plano de la cuadrícula, el tiempo es 0. Los planos paralelos al de la cuadrícula (no dibujados) cortan los segmentos en puntos con los colores de los semáforos de aquel instante. Cada segmento verde indica instantes con semáforo en verde; similarmente, cada segmento rojo.

 

La escala de tiempos es la siguiente:

 

Los segmentos más cortos representan 10 segundos y los más largos, 90 segundos. Con esta escala, la velocidad constante para circular teniendo onda verde es:

 

133 m / 10 s = 13,3 m/s = 13,3 m/s · (1 km / 1.000 m) · (3.600 s / 1 h) = 47,88 km/h

 

es decir, algo menos que la velocidad máxima legal de 50 km/h en los núcleos urbanos de España.

 

Obsérvese que la longitud del segmento verde de la derecha se ha trazado con una duración de 80 segundos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


figura 1

 

Paso 3:

 

En la figura 2, se añaden los segmentos sobre la vía urbana 1 formando onda verde.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


figura 2

 

Los colores de los semáforos que un vehículo va encontrando al circular a una velocidad v  vienen dados por las intersecciones de los segmentos con una recta no dibujada que tiene su proyección en la vía urbana que recorre el vehículo y que tiene una pendiente respecto al plano de la cuadrícula de:

arctan (v  / 133)

 

En el caso de la figura, con v  = 10 m/s:

arctan (10 / 133) = 4,3º

 

Paso 4:

 

En la figura 3, se añaden los segmentos de las vías urbanas 3, 4 y 5 formando ondas verdes. Se añaden los segmentos a vías urbana que cruzan las 3, 4 y 5. Se constata que en estas vías que cruzan no hay onda verde; se cambian de negro a gris los trazos sin onda verde para denotarlo. Con ello, queda demostrada la tesis.

 

Para no complicar más la figura y por no ser necesario para la demostración, no se han añadido los segmentos de 3 cruces de la periferia de la cuadrícula; tampoco se han añadido más prolongaciones de los segmentos (serían de 90 segundos y color cambiado).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


figura 3

 

5. Escolio.

 

El teorema no pierde generalidad por cambio de las medidas de los lados de los cuadrados ni por cambio de las duraciones de los cambios de color de los semáforos.

 

6. Conclusión.

 

Para facilitar la circulación de vehículos, es preferible una cuadrícula sin semáforos con vías urbanas en 2 niveles, como se muestra en otro escrito.

 

 

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