Los números y sus clases

 

 

La figura siguiente muestra los conjuntos y los subconjuntos de las clases de números. Las explicaciones están después.

 


 

Los números son los números reales, los números imaginarios y los números complejos.

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Los números reales son los números racionales y los números irracionales.

 

Los números imaginarios son los números imaginarios positivos y los números imaginarios negativos.

Los números imaginarios positivos son el resultado de:

(número imaginario positivo)2 + real = 0

en donde :

real > 0

Ejemplos: ,

Los números imaginarios negativos son el resultado de:

número imaginario negativo = - número imaginario positivo

Ejemplos: ,

Los números imaginarios se inventaron para poder continuar operando con radicandos negativos con la esperanza de que cálculos posteriores diesen resultados reales aplicables a objetos.

 

Los números complejos son el resultado de:

número complejo =

en donde:

real1 ≠ 0

real2 ≠ 0

Ejemplos:

Una representación gráfica suya se emplea inesperadamente en la teoría electrotécnica.

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Los números racionales son los números enteros y los números fraccionarios.

 

Los números irracionales son los números algebraicos y los números trascendentes.

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Los números enteros son los números enteros positivos y los números enteros negativos. Según los axiomas que se adopten como base de las matemáticas, el número entero cero es un número entero positivo.

 

Los números enteros positivos también se llaman números naturales. La definición de número natural se encuentra en el mismo apartado de matemáticas del Portal.

Ejemplos: 0, 1, 5.

Esta clase de números fue la primera clase que se inventó. Se inventó para contar objetos, excepto el número 0, el cual se inventó después.

 

Los números enteros negativos son el resultado de:

número entero negativo + número entero positivo = 0

en donde:

número entero positivo ≠ 0

Ejemplos: - 3, -10.

Esta clase de números se inventó para mostrar una deuda.

 

Los números fraccionarios son el resultado de:

número entero positivo x número fraccionario + número entero = 0

en donde:

número entero positivo ≠ 0

número entero positivo ≠ 1

número entero ≠ 0

número entero ≠ 1

Si el número entero es número entero negativo, el número fraccionario es número fraccionario positivo. Si el número entero es número entero es número entero positivo, el número fraccionario es número fraccionario negativo.

Hay números fraccionarios con número finito de decimales.

Ejemplos: 5/2, - 2/10.

Y hay números fraccionarios con número infinito de grupos periódicos de decimales.

Ejemplos: 10/3 = 3,333333..., 3/7 = 0,428571428571...

Esta clase de números se inventó cuando se inventó la división y se vio que a veces el cociente no era un número entero.

Algún autor también incluye los números fraccionarios continuos (no representados en la figura anterior) que son el resultado de:

en donde:

a1, a2, a3, ... b1, b2, b3, ... son números no nulos.

Esta clase de números se inventó para mostrar aproximaciones de números no enteros.

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Los números algebraicos son números no racionales y que además son un resultado que anula un polinomio de coeficientes racionales. Pueden ser positivos o negativos. Pueden ser imaginarios y complejos. Pueden expresarse en una cantidad finita de caracteres mediante el polinomio. Alguno de estos polinomios representa varios números algebraicos.

Ejemplo: el polinomio   se anula con los valores:

 

Esta clase de números se inventó para mostrar valores que anulan polinomios.

 

Los números trascendentes son números no racionales ni algebraicos con infinitos decimales. Pueden ser positivos o negativos.

Ejemplos: 3,1415926535..., log 2, cos 1 (en radianes)

Esta clase de números se descubrió cuando se demostró que no eran números enteros, ni números fraccionarios, ni números algebraicos, ni números imaginarios ni números complejos.

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Todas estas clases de números son útiles porque tienen todas las 3 propiedades siguientes; de lo que resulta que se pueden combinar en operaciones matemáticas.

 

Propiedad asociativa, por la cual el orden de los sumandos de una suma no altera el resultado.

Propiedad conmutativa, por la cual el orden de los factores de una multiplicación no altera el resultado.

Propiedad distributiva, por la cual la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de las dos multiplicaciones de cada uno de los dos números por el tercer número.

 

Por otra parte, agrupando varios números de una manera que no se describe aquí, se han inventado los conceptos de vector y de matriz para utilizarlos en la física.

 

 

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