Geometría plana monótropa regular
1. Generalidades.
La geometría plana monótropa regular es la parte de la geometría plana que estudia los caminos monótropos formados por polígonos regulares. Un camino monótropo (de μόνος que significa único y de τρόπος que significa dirección) es un camino recorrible en un solo sentido. Un conjunto de caminos monótropos diaporeicos (de δίαπορεύομαι que significa recorrer) es un conjunto de caminos recorrible; todos estos conjuntos se simbolizan por Δ.
Una superficie plana puede cubrirse solamente con 3 polígonos regulares: cuadrado, hexágono regular y triángulo equilátero. De esto se desprende que hay 3 clases de dicha parte de la geometría; se estudiarán correlativamente a continuación.
2. Geometría plana monótropa regular del cuadrado.
2.1. Nomenclatura de los cuadrados.
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cuadrado peristofático (de περί que significa alrededor y de στροϕάς que significa giratorio) inverso, simbolizado por m, es un cuadrado recorrible en sentido de las agujas del reloj. m pertenece a Δ, es decir: d ⊂ Δ |
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cuadrado peristofático directo, simbolizado por n, es un cuadrado recorrible en sentido contrario a las agujas del reloj. n pertenece a Δ, es decir: n ⊂ Δ
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cuadrado anaperistofático (de ἀνά que significa “contra”), simbolizado por p, es un cuadrado no recorrible por entero, parcialmente recorrible desde el vértice superior derecho y desde el vértice inferior izquierdo. p no pertenece a Δ, es decir: p ⊄ Δ |
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cuadrado anaperistofático, simbolizado por q, es un cuadrado no recorrible por entero, parcialmente recorrible desde el vértice superior derecho y desde el vértice inferior izquierdo. q no pertenece a Δ, es decir: q ⊄ Δ |
2.2. Axiomática.
Axioma 1: La geometría plana monótropa regular del cuadrado sólo tiene los cuadrados m, n, p, q.
2.3. Reglas de construcción de Δ.
Las únicas reglas de construcción de Δ mediante más de un cuadrado son las 5 siguientes.
Regla 1: Si se unen m e n por un vértice y en prolongación de lados de ambos, se forma Δ. Entonces se verifica: (m ∧ n ) ⊂ Δ Ejemplo:
Regla 2: Si en Δ se intercala horizontalmente p entre 2 n, se forma Δ. Ejemplo:
Regla 3: Si en Δ se intercala verticalmente p entre 2 m, se forma Δ. Ejemplo:
Regla 4: Si en Δ se intercala horizontalmente q entre 2 m, se forma Δ. Ejemplo:
Regla 5: Si en Δ se intercala verticalmente q entre 2 n, se forma Δ. Ejemplo:
2.4. Aplicación práctica.
La geometría plana monótropa regular del cuadrado puede emplearse para planificar el crecimiento urbanístico de una ciudad que sólo tenga calles de sentido único formando con cuadrados un conjunto de caminos monótropo diaporeicos. En las siguientes 9 figuras hay un ejemplo de sucesivas fases de crecimiento:
3. Geometría plana monótropa regular del hexágono regular.
3.1. Nomenclatura de los hexágonos regulares.
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a |
hexágono regular peristofático, simbolizado por a, es un hexágono regular recorrible en sentido de las agujas del reloj. a pertenece a Δ, es decir: a ⊂ Δ |
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b |
hexágono regular peristofático, simbolizado por b, es un hexágono regular recorrible en sentido contrario a las agujas del reloj. b pertenece a Δ, es decir: b ⊂ Δ |
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c |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por c, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. c no pertenece a Δ, es decir: c ⊄ Δ |
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d |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por d, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. d no pertenece a Δ, es decir: d ⊄ Δ |
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e |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por e, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. e no pertenece a Δ, es decir: e ⊄ Δ |
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f |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por f, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. f no pertenece a Δ, es decir: f ⊄ Δ |
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g |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por g, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. g no pertenece a Δ, es decir: g ⊄ Δ |
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h |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por h, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. h no pertenece a Δ, es decir: h ⊄ Δ |
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i |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por i, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. i no pertenece a Δ, es decir: i ⊄ Δ |
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j |
hexágono regular anaperistofático, simbolizado por j, es un hexágono regular no recorrible por entero, parcialmente recorrible. j no pertenece a Δ, es decir: j ⊄ Δ |
Existen otros hexágonos regulares anaperistofásicos; no se incluyen aquí por no ser necesarios para el apartado 3.5.
3.2. Axiomática.
Axioma 2: La geometría plana monótropa regular del hexágono regular es formalizable con sólo los 10 hexágonos regulares a, b, c, d, e, f, g, h, i, j.
3.3. Reglas de construcción de Δ.
Las únicas reglas de construcción de Δ mediante más de un hexágono regular son las 3 siguientes:
Regla 1: a no debe compartir un lado con a.
Regla 2: b no debe compartir un lado con b.
Regla 3: Los lados no compartidos de c, d, e, f, g, h, i, j deben ser recorribles.
3.4. Aplicación práctica.
La geometría plana monótropa regular del hexágono regular puede emplearse para planificar el crecimiento urbanístico de una ciudad que sólo tenga calles de sentido único formando con hexágonos regulares un conjunto de caminos monótropos diaporeicos. En las 4 siguientes figuras hay un ejemplo de sucesivas fases de crecimiento:
3.5. Conjuntos Δ interesantes para una ciudad que sólo tenga calles de sentido único formando hexágonos regulares.
Casos particulares del conjunto Δ son: DSM, DCTC y MTS que se describen a continuación.
3.5.1. Caso particular DSM.
El caso particular DSM del conjunto Δ es recorrible por trozos de caminos duoalternos simétricos y caminos monoalternos. Las siguientes 2 figuras son un ejemplo de esta variante. Un camino duoalterno simétrico es un camino que reiteradamente gira 2 veces a la izquierda y 2 veces a la derecha, y además es simétrico a otro eventual camino de sentido contrario que reiteradamente gira 2 veces a la derecha y 2 veces a la izquierda; en la siguiente figura, está representado en color rojo.
Un camino monoalterno es un camino que reiteradamente gira 1 vez a la izquierda y 1 vez a
la derecha; en la siguiente figura, está representado en color verde.
3.5.2. Caso particular DCTC.
El caso particular DCTC del conjunto Δ es recorrible por trozos de caminos duoalternos congruentes y caminos trialternos congruentes. Las 3 siguientes figuras son un ejemplo de esta variante. Un camino duoalterno congruente es un camino que reiteradamente gira 2 veces a la izquierda y 2 veces a la derecha, y además es congruente con otro eventual camino que reiteradamente gira 2 veces a la derecha y 2 veces a la izquierda; en la siguiente figura, está representado en color magenta.
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Un camino trialterno congruente es un camino que reiteradamente gira 3 veces a la izquierda y 3 veces a la derecha y además es congruente con otro eventual camino que reiteradamente gira 3 veces a la derecha y 3 veces a la izquierda; en las 2 siguientes figuras, está representado en color anaranjado para un sentido y en color azul turquesa para el sentido contrario. Nótese que ambos caminos trialternos congruentes comparten parte de su recorrido.
3.5.3. Caso particular MTS.
El caso particular MTS del conjunto Δ es recorrible por trozos de caminos monoalternos y caminos trialternos simétricos. Las 3 siguientes figuras son un ejemplo de esta variante. Un camino monoalterno (tal como se ha visto en el apartado 3.4.1) es un camino que reiteradamente gira 1 vez a la izquierda y 1 vez a la derecha; en la siguiente figura, está representado en color violeta; nótese que los caminos monoalternos de izquierda a derecha suben con inclinación de 30 grados (y los caminos monoalternos de derecha a izquierda bajan con inclinación de 30 grados) pero no puede existir ningún camino monoalterno de izquierda a derecha que baje con inclinación de 30 grados (ni ningún camino monoalterno de derecha a izquierda que suba con inclinación de 30 grados).
Un camino trialterno simétrico es un camino que reiteradamente gira 3 veces a la izquierda y 3 veces a la derecha y además es simétrico con otro eventual camino que reiteradamente gira 3 veces a la derecha y 3 veces a la izquierda; en las 2 siguientes figuras, está representado en color gris para un sentido y en color azul para el sentido contrario. Nótese que ambos caminos trialternos simétricos comparten parte de su recorrido.
4. Geometría plana monótropa regular del triángulo equilátero.
Georges-Eugène Haussmann, prefecto de la Seine de 1853 a 1870, creó un sistema de calles anchas radiales en la ciudad de París. Por esto, en esta ciudad, las calles anchas suelen formar triángulos y no cuadrados ni hexágonos regulares.
4.1. Nomenclatura de los triángulos equiláteros.
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A |
triángulo equilátero peristofático acmeana (de ἀκμή que significa punta y ἀνά que significa hacia arriba) directo, simbolizado por A, es un triángulo equilátero recorrible en sentido contrario a las agujas del reloj. A pertenece a Δ, es decir: A ⊂ Δ |
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B |
triángulo equilátero peristofático acmeana inverso, simbolizado por B, es un triángulo equilátero recorrible en sentido de las agujas del reloj. B pertenece a Δ, es decir: B ⊂ Δ |
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C |
triángulo equilátero anaperistofático acmeata, simbolizado por C, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. B no pertenece a Δ, es decir: C ⊄ Δ |
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D |
triángulo equilátero anaperistofático acmeana, simbolizado por D, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. D no pertenece a Δ, es decir: D ⊄ Δ |
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E |
triángulo equilátero anaperistofático acmeana, simbolizado por E, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. E no pertenece a Δ, es decir: E ⊄ Δ |
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V |
triángulo equilátero peristofático acmeata (de ἀκμή que significa punta y κατά que significa hacia abajo) directo, simbolizado por V, es un triángulo equilátero recorrible en sentido contrario a las agujas del reloj. V pertenece a Δ, es decir: V ⊂ Δ |
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W |
triángulo equilátero peristofático acmeata inverso, simbolizado por W, es un triángulo equilátero recorrible en sentido de las agujas del reloj. W pertenece a Δ, es decir: W ⊂ Δ |
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X |
triángulo equilátero anaperistofático acmeata, simbolizado por X, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. X pertenece a Δ, es decir: X ⊄ Δ |
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Y |
triángulo equilátero anaperistofático acmeata, simbolizado por Y, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. Y pertenece a Δ, es decir: Y ⊄ Δ |
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Z |
triángulo equilátero anaperistofático acmeata, simbolizado por Z, es un triángulo equilátero no recorrible por entero, parcialmente recorrible. Z pertenece a Δ, es decir: Z ⊄ Δ |
4.2. Axiomática.
Axioma 3: La geometría palna monótropa del triángulo equilátero puede construirse con sólo los triángulos equiláteros A, W.
4.3. Reglas de construcción de Δ.
Regla 1: Si se unen A y W por un lado, se forma Δ. Entonces se verifica: (A ∧ W ) ⊂ Δ
4.4. Aplicación práctica.
La geometría plana monótropa del triángulo equilátero puede emplearse para planificar el crecimiento urbanístico de una ciudad que sólo tenga calles de sentido único formando con triángulos equiláteros un conjunto de caminos monótropos.
4.4.1. Caso de caminos monótropos diaporeicos.
En las 6 siguientes figuras se muestra un ejemplo de las sucesivas fases de crecimiento.
4.5. Conjuntos Δ interesantes para una ciudad que sólo tenga calles de sentido único formando triángulos equiláteros.
Casos particulares del conjunto Δ son: RM y DDA que se describen a continuación.
4.5.1. Caso particular RM.
El caso particular RM del conjunto Δ es recorrible por trozos de caminos rectos en un sentido y por trozos de caminos monoalternos en sentido contrario. Las 2 siguientes figuras son un ejemplo de este caso particular. Un camino monoalterno (tal como se ha visto en el apartado 3.4.1) es un camino que reiteradamente gira 1 vez a la izquierda y 1 vez a la derecha. La siguiente figura es un ejemplo de caminos rectos; están representados en color rojo; nótese que todos tienen el mismo sentido.
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La siguiente figura es un ejemplo de caminos monoalternos; hay 4 pero sólo se han representado 2 en color azul para mayor claridad.
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4.5.2. Caso particular DDA.
El caso particular DDA del conjunto Δ es recorrible por 2 trozos de caminos rectos en los 2 sentidos y 6 trozos de caminos duoduploalternos simétricos con direcciones generales perpendiculares a los 6 lados de los 2 triangulos equiláteros A, W. Un camino duoduploalterno simétrico es un camino que reiteradamente se dirige recto a lo largo de 2 lados de triángulo equilátero, gira a la izquierda, se dirige recto a lo largo de 2 lados de triángulo equilátero y gira a la derecha. Las 7 siguientes figuras son un ejemplo de este caso. Nótese que no tienen triángulos equiláteros B ni V; si se construye un conjunto Δ con éstos, no aparecen los triángulos equiláteros A ni W. La siguiente figura indica en anaranjado y azul turquesa los caminos rectos.
Las 6 siguientes figuras contienen ejemplos de caminos duoduploalternos simétricos.
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5. Comparación entre conjuntos Δ.
Para comparar la eficacia de un conjunto Δ se calculan sus ofélemas más representativas. Ofélema (de ὠφέλημα que significa utilidad) es el cociente entre la longitud en línea recta entre 2 puntos del conjunto y la longitud del camino empleado entre estos 2 puntos. La ofélema máxima vale 1 y corresponde al camino más corto. En lo que sigue, el lado de un polígono regular se llama l.
5.1. Ofélemas de conjuntos Δ de cuadrados.
Ofélema del camino horizontal: l : l = 1
Ofélema del camino vertical: l : l = 1
Ofélema media: (1 + 1) : 2 = 1
5.2. Ofélemas de conjuntos Δ de hexágonos regulares con variante MDS.
Se tiene en cuenta que:
El diámetro de la circunferencia circunscrita al hexágono regular vale 2l.
La cuerda de un hexágono regular (igual al lado de un triángulo equilátero inscrito al hexágono) vale 3-2l.
Ofélema del camino duoalterno simétrico: (2l + l ) : 4l = 0,750
Ofélema del camino monoalterno: 3-2l : 2l = 0,866
Ofélema media: (0,750 + 0,866) : 2 = 0,808
5.3. Ofélemas de conjuntos Δ de hexágonos regularescon variante DCT.
Ofélema del camino duoalterno congruente: (2 l + l ) : 4l = 0,750
Ofélema del camino trialterno: (3-2l + 3-2l ) : 6l = 0,577
Ofélema media: (0,750 + 0,577) : 2 = 0,664
5.4. Ofélemas de conjuntos Δ de hexágonos regulares con variante MT.
Ofélema del camino monoalterno: 3-2l : 2l = 0,866
Ofélema del camino trialterno: (3-2l + 3-2l ) : 6l = 0,577
Ofélema media: (0,866 + 0,577) : 2 = 0,722
5.5. Ofélemas de conjuntos Δ de triángulos equiláteros.
Ofélema del camino recto: l : l = 1
Ofélema del camino monoalterno: l : 2l = 0,500
Ofélema media: (1 + 0,500) : 2 = 0,75
5.6. Resultado de la comparación.
De mayor a menor ofélema media:
1 para el conjunto Δ de cuadrados.
0,808 para el conjunto Δ de hexágonos regulares con variante MDS.
0,750 para el conjunto Δ de triángulos equiláteros.
0,722 para el conjunto Δ de hexágonos regulares con variante MT.
0,664 para el conjunto Δ de hexágonos regulares con variante DCT.
6. Conclusión.
Por tanto, es preferible planificar y construir las calles de sentido único de una ciudad con cuadrados en lugar de con hexágonos regulares o con triángulos equiláteros.