El infinito en las matemáticas
Las matemáticas.
Esencialmente, para
construir las matemáticas, se parte de un conjunto de axiomas con conceptos que
no requieren definición y unas reglas para hacer razonamientos (las más
sofisticadas forman la lógica simbólica); después, los matemáticos van creando
conceptos, los definen rigurosamente y, con todo lo anterior, los matemáticos
deducen teoremas y, de éstos, deducen más teoremas.
Los axiomas de Peano.
Guiseppe Peano creó el siguiente conjunto de
axiomas como fundamento de la aritmética:
1. El 1 es un
número natural.
2. Todo número
natural tiene un número sucesor.
3. El 1 no es el número
sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos
números naturales con el mismo sucesor, entonces son el mismo número natural.
5. Si el 1
pertenece a un conjunto de números naturales, y dado un número natural
cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece al conjunto, entonces
todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Hay un debate
sobre si considerar el 0 como número natural o no. Si se quiere incluir el 0,
entonces los axiomas son:
1. El 0 es un
número natural.
2. Todo número
natural tiene un número sucesor.
3. El 0 no es el
número sucesor de ningún número natural.
4. Si dos números
naturales tienen el mismo número sucesor, entonces son el mismo número natural.
5. Si el 0
pertenece a un conjunto de números naturales, y dado un número natural
cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece al conjunto, entonces
todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Corolario del axioma 2: Si algo no es el 0 y no tiene número antecesor, no es un número natural. Ningún infinito es el 0 ni tiene número antecesor; por tanto, ningún infinito es un número natural.
El infinito.
Cuatro definiciones de infinito, a elegir:
Se llama infinito a un conjunto cuyos elementos se pueden hacer corresponder con los elementos de una parte del conjunto.
Un conjunto de elementos es infinito si sus elementos no pueden hacerse corresponder con ningún conjunto de números naturales.
Definición más simple y menos rigurosa: infinito es lo que no tiene fin.
Definición obvia: infinito es lo que no es finito.
Si se considerase el infinito como un número, no tendría límite superior.
Si x tiende a 0, se dice que el quebrado 1/x tiende a infinito. Infinito se representa con el símbolo ∞.
El infinito no admite las mismas reglas que los números para las sumas, las restas, las multiplicaciones y las divisiones; por tanto, es preferible no considerarlo un número.
Hay diferentes clases de infinitos, unos infinitos son mayores que otros: se puede demostrar que el conjunto de los números reales es mayor que el conjunto de los números naturales.
Aunque no sea intuitivo, se puede demostrar que un segmento tiene la misma cantidad de puntos que una área; los dos infinitos tienen el mismo tamaño.
Conclusión.
El infinito no es un número.