Demostración simple del teorema de Thales
1. Introducción.
Hay
varios métodos de demostración del teorema de Thales.
Se ha escogido a continuación un método de demostración simple basado en la
fórmula del área de un triángulo. Para ello, en primer lugar se demostrará
dicha fórmula.
2. Método de medición del área
de la superficie interior de una figura geométrica plana.
1. Escogemos un cuadrado de 1 metro de lado; lo
llamaremos “metro cuadrado”.
2. Tratamos de superponer esta unidad en la máxima cantidad
de ejemplares iguales al interior de la figura, sin que éstos se superpongan.
3. Escogemos un cuadrado de 1 decímetro de lado; lo llamamos
“decímetro cuadrado” (100 decímetros cuadrados caben exactamente en un metro
cuadrado); tratamos de superponer esta unidad en la máxima cantidad de
ejemplares iguales al interior de la figura, sin que éstos se superpongan entre
sí o a las anteriores unidades. Y sucesivamente con unidades menores hasta la
precisión que deseemos.
4. Contamos las unidades de cada clase; el resultado de la
medición del área viene expresado con el número de metros cuadrados seguido de
“metro cuadrado”, el número de decímetros cuadrados seguido de “decímetros
cuadrados”, etcétera.
En
lugar de emplear unidades con cuadrados, podríamos emplear unidades con
triángulos equiláteros empezando con los de 1 metro de lado; los llamaríamos
“metro triangular”, “decímetro triangular”, etcétera (100 decímetros
triangulares caben exactamente en un metro triangular). Podríamos emplear
unidades con hexágonos regulares empezando con los de 1 metro de lado; los
llamaríamos “metro hexagonal”, “decímetro hexagonal”, etcétera (pero 100
decímetros hexagonales no caben en un metro hexagonal, lo cual es una
desventaja). También podríamos emplear unidades con otras figuras geométricas
planas, pero las unidades con cuadrados están generalizadas ya que en la
práctica diaria hay más figuras (a las que deseamos medir el área) con ángulos
de 90 grados sexagesimales (que tienen los cuadrados) que con ángulos de 60
grados sexagesimales (que tienen los triángulos equiláteros).
Si
para expresar una medición se emplean números con base decimal, tal como la
mayoría de las personas está actualmente habituada, tenemos la ventaja de que
en lugar de decir, por ejemplo:
3
metros cuadrados, 12 decímetros cuadrados y 57 milímetros cuadrados,
o
bien:
3
metros triangulares, 12 decímetros triangulares y 57 milímetros triangulares,
podemos
decir simplificando:
3,
1257 metros cuadrados, o bien 3,1257 metros triangulares.
3. Axioma de unicidad de
áreas.
El
resultado de la medición del área de la superficie interior de una figura
geométrica plana es independiente de la posición y del orden de colocación de
las unidades de área. Es un axioma similar al axioma de unicidad de longitudes
y al axioma de unicidad de volúmenes. Es un axioma similar al postulado
fundamental de la aritmética: “El número cardinal de un conjunto de cosas no
depende del orden en que se cuenten.” propuesto por Julio Rey Pastor y Pedro
Puig Adam en 1942.
4. Área de un triángulo.
El
área de un rectángulo es igual al producto de su base b por su altura a. Este
cálculo es equivalente al método de medición del área antes expuesto:
Las
áreas de los 2 triángulos rectángulos formados a trazos son iguales. Por tanto,
el área de un paralelogramo es igual al producto de su base b por su altura a:
Las
áreas de los 2 triángulos son iguales. Por tanto, el área de un triángulo es
igual a la mitad del producto de su base b
por su altura a:
5. Teorema de Thales.
Hipótesis:
BD y CE son paralelas.
Tesis:
AB : BC = AD
: DE
Demostración:
Debido a la hipótesis, las alturas de los triángulos BCE y DCE sobre la misma
base CE son iguales. Por tanto, tienen
la misma área que, con otras bases y alturas, permite escribir: BC · a1 :
2 =DE · a2 : 2
También
tienen la misma área los triángulos ABE
y ACD:
AB · a1 : 2 = AD · a2 : 2
Eliminando
a1 y a2 de estas dos igualdades queda demostrada la tesis:
AB : BC = AD : DE