Definición de número
natural
Definición
de una cosa es la operación mental de decir qué es esta cosa, mediante la
fijación de su concepto.
La
definición descriptiva de una cosa es la expresión de la enumeración de
las características de esta cosa.
Definición
descriptiva de número natural:
1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etcétera.
La
definición esencial de una cosa es la expresión del conjunto al cual
pertenece y de lo que distingue la cosa de los demás elementos del conjunto.
Para
encontrar la definición esencial de número natural, distingamos primeramente
los 2 ejemplos siguientes:
Ejemplo de
número natural: 3
Ejemplo de
número natural 3: un trío de músicos.
Un trío de
músicos no es un ejemplo de número natural, sino un ejemplo del número natural
3. El número natural 3 no es lo mismo que un trío de músicos; el número natural
3 es lo que tienen en común todos los tríos y que los distingue de las parejas.
Un trío de
músicos es un conjunto.
Una pareja
de músicos es un conjunto.
Existe un
conjunto cuyos elementos son parejas; por tanto, este conjunto es un conjunto
de conjuntos.
Convengamos
en decir que un conjunto de elementos contables es similar a otro conjunto de
elementos contables si a cada elemento del primero le puede corresponder un
elemento del segundo, y si a cada elemento del segundo le puede corresponder un
elemento del primero. Véase en la figura 1 un ejemplo de un conjunto de 3
músicos y un conjunto similar de 3 violines.
Figura
1
conjunto
de 3 músicos conjunto
de 3 violines
Véase en
la figura 2 un conjunto de algunos conjuntos de tríos.
Figura
2
conjunto
de algunos conjuntos de tríos
Si en la
figura 2, en lugar de representar algunos conjuntos de tríos, representásemos
todos los conjuntos de tríos, tendríamos un ejemplo de representación de un
conjunto de conjuntos similares. Generalizando, podemos definir:
Número-natural-de-un-conjunto
es el conjunto de todos los conjuntos similares entre sí. Por ejemplo, el número natural del
conjunto de tríos.
Número
natural es todo aquello que es conjunto de todos los conjuntos similares entre
sí. O, si se
prefiere: número natural es todo aquello que es número-natural-de-un-conjunto. Por
ejemplos, el número natural 3, el número natural 4.
Para que
una definición sea buena, debe cumplir los siguientes 4 requisitos:
1. Que la
definición sea más clara que lo definido. La definición esencial antes expuesta
no es más clara que lo definido, luego no es buena. Para cumplir con este
requisito, es mejor la definición descriptiva del principio de este escrito que
es la que suele emplearse. Pero dicha definición esencial es más rigurosa.
2. Que el
nombre de lo definido no esté repetido en la definición. La definición esencial
"número natural es todo aquello que es número-natural-de-un-conjunto"
no parece a primera vista que cumpla este requisito; pero lo cumple, al igual
que en el siguiente ejemplo:
Color-de-un-conjunto
es el conjunto de todos los conjuntos cuyos elementos reflejan las mismas
longitudes de onda de luz.
Color es
todo aquello que es color-de-un-conjunto.
3. Que la
definición lo sea de todas las cosas definidas y que no lo sea de ninguna cosa
distinta. Este requisito se cumple, teniendo en cuenta que dentro de la definición
no entra un número natural infinito.
4. Que la
definición pueda sustituir lo definido. Este requisito se cumple, aunque
entonces la definición es más confusa, tal como ocurre en otras definiciones.
Diríamos entonces:
Número
natural es todo aquello que es el conjunto de todos los conjuntos si a cada
elemento de uno de éstos le puede corresponder un elemento otro de éstos, y si
a cada elemento del segundo le puede corresponder un elemento del primero. No obstante es preferible el desglose
en 2 definiciones: la de conjunto similar y la de número natural.
Nadie ha
dicho que la definición esencial de número natural sea fácil de redactar. Si
alguien conoce una definición mejor, sería de agradecer que la mostrase.