Cálculo de probabilidades

 

 

1. Conceptos.

 

     Si tenemos una bolsa con una proporción conocida de bolas blancas y bolas negras, el cálculo de probabilidades es la parte de las matemáticas que enseña a calcular la probabilidad de que si extraemos, por ejemplo, una muestra de 10 bolas, 7 sean blancas.

 

     Por otra parte, si tenemos una bolsa con una proporción desconocida de bolas blancas y bolas negras, la estadística es la parte de las matemáticas que enseña a calcular la probabilidad de que si extraemos, por ejemplo, una muestra de 10 bolas en que 7 sean blancas, determinado intervalo numérico contenga la proporción de bolas blancas de la bolsa con una probabilidad alta. La estadística es la parte de las matemáticas que trata de la recogida, el análisis y la síntesis de datos de observaciones para estudiar fenómenos colectivos; la estadística estudia numéricamente los fenómenos colectivos incompletamente conocidos. No hay que confundir la estadística (como ciencia) con una estadística (que es un conjunto de datos y hechos reunidos, clasificados y computados).

 

     Es decir, el cálculo de probabilidades estudia la probabilidad de que una causa produzca determinado fenómeno, mientras que la estadística estudia la probabilidad de que un fenómeno sea debido a determinada causa. Por tanto, se puede decir que el cálculo de probabilidades es la ciencia inversa de la estadística.

 

     En la naturaleza hay fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios. Los primeros son aquellos en que, conociendo las causas que los determinan, podemos prever con certeza el resultado. Los segundos son aquellos que tienen muchas y desconocidas causas que los determinan y no podemos prever con certeza el resultado.

 

     La probabilidad de un suceso es la frecuencia a la que tiende el resultado del suceso si se repite indefinidas veces. La probabilidad es una medida de la incertidumbre de un suceso futuro. La probabilidad de un suceso futuro está íntimamente ligada con la frecuencia con la que el suceso se ha presentado en el pasado. Si impulsando 37.000 veces una ruleta, su bola ha caído unas 1.000 veces en el número 7, podemos creer que la ruleta está bien equilibrada y que hay una probabilidad de 1/37 que, si la impulsamos de nuevo, la bola caiga en el número 7. Además, en esta ruleta equilibrada, tanto si ha salido varias veces seguidas el número 5 como si hace muchas veces que no ha salido el número 5, la probabilidad de que en la próxima ocasión salga el número 5 es 1/37; la ruleta no tiene memoria.

 

     La probabilidad de un suceso es el cociente de la división del número de casos favorables al suceso por el número de casos posibles, si se prevé que, tomando un número grande de los casos, se observará aproximadamente igual cantidad de cada caso posible. Llamamos equiprobables los casos que creemos que se darían con frecuencias muy iguales si repitiésemos el suceso un gran número de veces. Los matemáticos presentan el concepto de probabilidad con 3 axiomas (llamados también postulados), es decir, que lo presentan con 3 proposiciones no demostradas pero que parecen evidentes:

 

     Axioma 1: La probabilidad de un acontecimiento vale entre 0 (si es imposible) y 1 (si es cierto).

 

     Axioma 2: La probabilidad de un acontecimiento sumada a la probabilidad de que no suceda el acontecimiento vale 1.

 

     Axioma 3: La probabilidad de un acontecimiento compuesto de alternativas mutuamente excluyentes vale la suma de las probabilidades de las alternativas.

 

 

2. Teoremas.

 

     A partir de dichos 3 axiomas se pueden demostrar los siguientes teoremas del cálculo de probabilidades.

 

 

2.1. Teorema de adición (o de probabilidades totales).

 

     Si un acontecimiento puede producirse por la realización de un acontecimiento A, o bien por la realización de un acontecimiento B, su probabilidad es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de que A y B se produzcan a la vez. Simbólicamente se escribe:

 

 

     Ejemplo:

Una bolsa contiene 15 bolas numeradas de 1 a 15. ¿Cuál es la probabilidad de que, si sacamos una bola, ésta tenga un número múltiplo de 3 o de 5?

 

     Ya que de los 15 números hay 5 que son múltiplos de 3, la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 es:

 

 

     Ya que de los 15 números hay 3 que son múltiplos de 5, la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5 es:

 

 

     Ya que de los 15 números hay 1 que es múltiplo de 15, la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 y de 5 es:

 

 

     La probabilidad buscada es, pues:

 

 

     Observación al teorema de adición:

En ciertos casos los acontecimientos A y B son incompatibles, es decir, no pueden suceder simultáneamente. Entonces:

 

 

 

     Ejemplo:

Al echar un dado de 6 caras, ¿qué probabilidad hay de obtener 3 ó 5?

 

     Ya que obtener 3 es incompatible con obtener 5:

 

 

 

2.2. Teorema de multiplicación (o de las probabilidades compuestas).

 

     Si para que se produzca un acontecimiento, debe producirse un acontecimiento A y además un acontecimiento B, la probabilidad compuesta del primer acontecimiento es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicionada de B después de realizarse A. Simbólicamente se escribe:

 

 

en donde  es la probabilidad de B después de realizarse A.

 

     Ejemplo:

¿Qué probabilidad hay de que extrayendo dos cartas de una baraja de 52 cartas bien mezcladas se obtengan dos ases? Obsérvese que la extracción es exhaustiva; es decir, que una vez sacado un naipe, éste no se repone a la baraja.

 

     La probabilidad de que el primer naipe sea un as es:

 

 

     Una vez sacado el primer as, quedan sólo 3 ases en la baraja de 51 cartas; por tanto, la probabilidad de sacar otro as es:

 

 

     Así pues, la probabilidad buscada es:

 

 

     Observación al teorema de multiplicación:

Si la probabilidad del acontecimiento A no es modificada por la realización del acontecimiento B, se dice que los acontecimientos A y B son independientes y entonces el teorema de multiplicación se escribe:

 

 

     Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de sacar no exhaustivamente dos ases de una baraja de 52 cartas? Este es el caso en que después de sacar el primer as, éste se devuelve a la baraja y se mezcla de nuevo antes de buscar el segundo as. Entonces la probabilidad es:

 

 

 

2.3. Teorema de la probabilidad de las hipótesis (o de Bayes).

 

     Considérese un experimento que se realiza en dos etapas. En la primera etapa, los m resultados posibles  son mutuamente excluyentes; las probabilidades  de estos resultados son conocidas y se cumple:

 

 

En la segunda etapa, el resultado B depende del resultado de la primera etapa; se conocen las probabilidades condicionadas  de obtener el resultado B cuando ocurriese cada resultado  en la primera etapa.

 

     Se efectúa ahora dicho experimento de tal modo que se conoce el resultado B de la segunda etapa pero no se conoce el resultado A de la primera etapa. El teorema de la probabilidad de las hipótesis permite calcular las m probabilidades  de los resultados posibles  no observados de la primera etapa, conociendo el resultado observado B de la segunda etapa; se calculan mediante las m ecuaciones que se obtienen dando a j los valores desde 1 hasta m en:

 

 

     Ejemplo:

La urna  tiene 1 bola blanca y 3 bolas negras. La urna  tiene 1 bola blanca y 2 bolas negras. Una persona ha tirado al aire un dado y ha escogido la urna  si el dado ha sacado un uno y ha escogido la urna  si el dado ha sacado otro número; y ha extraído una bola al azar de la urna escogida. Nosotros no sabemos de cual urna se ha extraído la bola y tenemos que responder a la pregunta siguiente: si la bola es blanca, ¿qué probabilidad hay de que provenga de la urna  y qué probabilidad hay de que provenga de la urna ?

 

     Para responder a esta pregunta se aplica el teorema de la probabilidad de las hipótesis con los siguientes datos:

número de urnas:

probabilidad de que se haya escogido la urna :

 

 

probabilidad de que se haya escogido la urna :

 

 

probabilidad de extraer una bola blanca de la urna :

 

probabilidad de extraer una bola blanca de la urna :

 

 

y se obtienen:

 

probabilidad de que la bola blanca provenga de la urna :

 

 

probabilidad de que la bola blanca provenga de la urna :

 

 

 

2.4. Teorema de la probabilidad en pruebas repetidas.

 

     Si la probabilidad de un acontecimiento en una prueba es p y efectuamos n pruebas repetidas iguales, la probabilidad de observar el acontecimiento r veces en el futuro es:

 

 

     Ejemplo:

Si tiramos al aire un dado 20 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 veces el número 5?

La probabilidad p vale , luego:

 

 

 

3. Cálculo práctico de las probabilidades.

 

     Para calcular probabilidades, si el número de resultados favorables o el número de resultados posibles es grande, es engorroso contarlos; es preferible calcularlos mediante el análisis combinatorio que se verá a continuación.

 

     Además, en algunos casos puede ser más fácil calcular la probabilidad  contraria a la probabilidad  que se busca. Entonces ésta se calcula con:

 

 

     Esta fórmula se desprende del axioma 2.

 

 

3.1. Fórmulas del análisis combinatorio.

 

     El análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia la cantidad de grupos que pueden formarse con elementos dados; estos grupos se distinguen entre sí por tener distintos números de elementos o por tener elementos distintos o por tener ordenaciones distintas de los elementos dentro de cada grupo o por tener varias de estas circunstancias.

 

     La extracción de una muestra de elementos de un conjunto se llama exhaustiva si los elementos no se devuelven al conjunto antes de hacer una nueva extracción; y se llama no exhaustiva si los elementos se devuelven al conjunto antes de hacer una nueva extracción.

 

     La extracción de una muestra de elementos de un conjunto se llama ordenada si se consideran muestras desiguales las que están formadas por los elementos extraídos en orden diferente; y se llama desordenada si se consideran muestras iguales las que están formadas por los elementos extraídos en orden diferente.

 

 

3.1.1. Parejas.

 

     Con un conjunto de m elementos  y otro conjunto de n elementos , se puede formar la siguiente cantidad de parejas que tengan en primer lugar uno de los m elementos y en segundo lugar uno de los n elementos:

 

 

 

3.1.2. Multiplejos.

 

     Con  elementos del conjunto a,  elementos del conjunto b, ...,  elementos del conjunto r, se puede formar la siguiente cantidad de grupos que tengan un elemento de cada conjunto:

 

 

 

3.1.3. Variaciones sin repetición.

 

     Variaciones sin repetición y de n elementos de grado r son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos diferentes tomados de r en r y sin repetición, de modo que los grupos difieran entre sí en algún elemento o en el orden correlativo de colocación en fila; se debe cumplir n > r. Por ejemplo, con los elementos a, b, c las variaciones de grado 2 son:

 

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

 

     La cantidad de variaciones sin repetición se calcula con:

 

 

y coincide con la cantidad de muestras diferentes de r elementos que se pueden extraer de modo ordenado y exhaustivo de un conjunto de n elementos.

 

 

3.1.4. Variaciones con repetición.

 

     Variaciones con repetición y de n elementos de grado r son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos diferentes tomados de r en r y con eventual repetición, de modo que los grupos difieran entre sí en algún elemento o en el orden correlativo de colocación en fila; se debe cumplir n > r. Por ejemplo, con los elementos a, b, c las variaciones de grado 2 son:

 

aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.

 

     La cantidad de variaciones con repetición se calcula con:

 

 

y coincide con la cantidad de muestras diferentes de r elementos que se pueden extraer de modo ordenado y no exhaustivo de un conjunto de n elementos.

 

 

3.1.5. Permutaciones sin repetición.

 

     Permutaciones sin repetición y de n elementos son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos diferentes, de modo que los grupos difieran entre sí en el orden correlativo de colocación en fila. Son como variaciones sin repetición de n elementos de grado n. Por ejemplo, con los elementos a, b, c las permutaciones son:

 

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

 

     La cantidad de permutaciones sin repetición se calcula con:

 

 

 

3.1.6. Permutaciones con repetición.

 

     Permutaciones con repetición y de n elementos (de los cuales  elementos iguales entre sí,  elementos iguales entre sí, ...,  elementos iguales entre sí) son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos, de modo que los grupos difieran entre sí en el orden correlativo de colocación en fila. Por ejemplo, con 2 elementos a, 1 elemento b, y 1 elemento c, las permutaciones con repetición son:

 

aabc, aacb, abac, abca, acab, acba,

baac, baca, bcaa,

caab, caba, cbaa.

 

     La cantidad de permutaciones con repetición se calcula con:

 

 

 

3.1.7. Combinaciones sin repetición.

 

     Combinaciones sin repetición y de n elementos de grado r son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos diferentes tomados de r en r y sin repetición, de modo que los grupos difieran entre sí en algún elemento aunque no en el orden correlativo de colocación en fila; se debe cumplir n > r. Por ejemplo, con los elementos a, b, c las combinaciones de grado 2 son:

 

ab, ac, bc.

 

     La cantidad de combinaciones se calcula con:

 

 

y coincide con la cantidad de muestras diferentes de r elementos que se pueden extraer de modo desordenado y exhaustivo de un conjunto de n elementos.

 

 

3.1.8. Combinaciones con repetición.

 

     Combinaciones con repetición de n elementos de grado r son los diferentes grupos que se pueden formar con estos n elementos diferentes tomados de r en r y con eventual repetición, de modo que los grupos difieran entre sí en algún elemento aunque no en el orden correlativo de colocación en fila; se debe cumplir n > r. Por ejemplo, con los elementos a, b, c las combinaciones con repetición de grado 2 son:

 

aa, ab, ac,

bb, bc,

cc.

 

     La cantidad de combinaciones con repetición se calcula con:

 

 

y coincide con la cantidad de muestras diferentes de r elementos que se pueden extraer de modo desordenado y no exhaustivo de un conjunto de n elementos.

 

 

3.1.9. Tabla de resumen de variaciones y combinaciones.

 

 

Extracción ordenada

Extracción desordenada

 

Extracción exhaustiva

Variaciones sin

repetición

Combinaciones sin

repetición

Extracción no exhaustiva

Variaciones con

repetición

Combinaciones con

repetición

 


 

4. Ejemplos de cálculos de probabilidades.

 

4.1. Ejemplo 1.

 

     Hallar la probabilidad de obtener 3 ases si se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas.

 

Resolución:

 

Recordando:

 

 

tenemos:

 

casos posibles:

 

 

casos favorables:

 

 

ya que hay  grupos diferentes de 3 ases y para acompañar los 3 ases se pueden elegir 2 cartas entre las  cartas que no son ases.

 

     La probabilidad pedida es:

 

 

 

4.2. Ejemplo 2.

 

 

     Hallar la probabilidad de que al echar 3 dados, la suma de sus números valga 10.

 

Resolución:

 

Recordando:

 

 

tenemos:

 

casos posibles:

 

 

Descompongamos 10 en la suma de 3 sumandos de todas las maneras posibles:

 

1 + 3 + 6    1 + 4 + 5

2 + 2 + 6    2 + 3 + 5    2 + 4 + 4

3 + 3 + 4

 

Vemos que hay 6 maneras; pero hay que tener en cuenta el permutar los 3 sumandos de cada suma, luego, recordando:

y recordando para 3 de las anteriores maneras con un elemento repetido:

 

 

tenemos:

 

casos favorables:

 

 

La probabilidad pedida es:

 

 

 

4.3. Ejemplo 3.

 

     Hallar la probabilidad de sacar de una bolsa con 10 bolas blancas y 4 bolas negras, una bola blanca primeramente, una bola negra a continuación y finalmente una bola blanca, sin devolver a la bolsa las bolas.

 

Resolución:

 

Recordando:

 

tenemos:

 

probabilidad de la primera extracción:

 

 

probabilidad de la segunda extracción:

 

 

probabilidad de la tercera extracción:

 

 

y por aplicación reiterada del teorema de multiplicación, la probabilidad pedida es:

 

 

4.4. Ejemplo 4.

 

     Hallar la probabilidad de obtener el as de corazones si se extraen las 5 cartas de encima de una baraja de 52 cartas.

 

Resolución:

 

Por aplicación reiterada del teorema de adición y del teorema de la multiplicación, la probabilidad pedida es:

 

 

 

 

 

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