Problema de la maximización del tráfico

 

 

1. Enunciado.

 

Se pregunta la velocidad a que deben ir legalmente los automóviles en fila para que la máxima cantidad de automóviles pueda circular por hora. Se supone que no desean avanzarse y que miden 4 m de longitud.

 

 

2. Resolución.

 

La resolución debe basarse  en conocer la distancia mínima que debe haber entre dos automóviles. Se exponen a continuacióin 3 posibilidades.

 

2.1. En España actualmente.

 

El Real Decreto 1428/2003 (Boletín Oficial del Estado de 2003-12-23) dice que un automóvil debe circular con:

 

“[...] un espacio libre que le permita detenerse, en caso de frenado brusco, sin colisión [...]”

 

Esta disposición legal no permite calcular objetivamente la distancia mínima entre automóviles; por consecuencia, la cantidad solicitada de automóviles por hora debería obtenerse por experimentación u observación, lo cual queda fuera de nuestro alcance.

 

 

2.2. En España anteriomente.

 

La legislación anterior pedía que entre dos automóviles que no buscasen avanzarse mantuviesen una distancia mínima en metros igual al valor del cuadrado de su velocidad expresada en decenas de kilómetros por hora. Así, yendo a 40 km/h, la distancia mínima es de 16 metros.

 

Llamando:

 

d = distancia mínima entre automóviles

l = longitud de los automóviles = 4 m

v = velocidad en km/m

y = cantidad máxima de automóviles por hora

 

tenemos por obligación legal:

 

considerando la cantidad de automóviles que pasan por un punto de la carretera:

 

 

Eliminando d entre las dos ecuaciones anteriores queda: 

 

Para l = 4, esta ecuación se representa en la figura siguiente:

 

 

Se busca el máximo anulando la derivada de la última ecuación:

 

 

de donde se obtiene la solución: 

 

Así pues, para una longitud de los automóviles de 4 m:

 

La velocidad para maximizar el tráfico es: 

 

La distancia mínima entre automóviles es: 

 

Y la cantidad de automóviles por hora es: 

 

que es la solución pedida.

 

 

2.3. En Francia actualmente.

 

A los automovilistas que van a Francia, les conviene saber que el artículo R412-12 de su ley 2003-495 de 2003-06-12 (llamada “Code de la route”), además de pedir lo mismo que la legislación actual española, pide:

 

“la distance parcurue par le véhicule pendant un délai d’au moins deux secondes”, es decir que pide que la distancia mínima entre dos automóviles sea la recorrida en por lo menos dos segundos.

 

Esta exigencia se traduce para 120 km/h en: 

 

Considerando la cantidad de automóviles que pasan por un punto de la carretera:

 

 

Eliminando d entre las dos ecuaciones anteriores queda: 

Para l = 4, esta ecuación se representa en la figura siguiente:

 

 

En esta figura se ha marcado que para una velocidad de 120 km/h, la cantidad de automóviles por hora que circulan es: 

 

Dicha curva tiende a aproximarse a una una recta asíntota para el valor 1800; esto significa que por más velocidad que se circulase, no se podria rebasar los 1800 automóviles/h. Se ha escogido 120 km/h como referente español, pero en Francia la velocidad máxima en autopista es 130 km/h (artículo R413-2 del Code de la route). El código de la circulación francés tiene una curiosa presentación en: www.legifrance.gouv.fr/affichCode.do?cidTexte=LEGITEXT000006074228

 

 

3. Conclusión.

 

 La legislación actual española no permite calcular objetivamente la velocidad a que deben ir legalmente los automóviles en fila para que la máxima cantidad de automóviles pueda circular por hora. Por la legislación anterior española, esta velocidad era de 20 km/h y admitía 2500 automóviles por hora. Esta velocidad calculada es inesperadamente baja, pero en una vía muy congestionada, muchas veces la velocidad de crucero es precisamente de alrededor de 20 km/h.

 

Por la legislación actual francesa, dicha velocidad es la máxima permitida según la clase de vía y tiene un límite de 1800 automóviles por hora.

 

 

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