Tensors i les 10 equacions d’Einstein

1. Introducció.

Els nombres es varen inventar per poder saber si hi havien moltes o poques coses, per saber-ne la quantitat; per exemple, més o menys soldats, més o menys sacs de farina, més o menys dies. Després es va inventar la suma; després, altres operacions.

Per mesurar la quantitat d’una magnitud d’un fenomen físic, cal un o més nombres i una unitat.

En aquesta introducció farem servir la paraula “tensor” però no la definirem fins el capítol 3.

1.1. Escalar.

Per determinar la magnitud de massa d’un cos que està en un punt, cal només 1 nombre. La seva representació tipogràfica genèrica es fa amb una lletra en cursiva, per exemple:

m

Aquest nombre també es diu escalar i també tensor d’ordre 0.

Per determinar les 2 magnituds temperatura i pressió baromètrica en un punt d’un mapa calen 2 nombres. La seva representació tipogràfica genèrica es fa amb lletres en cursiva, per exemple el conjunt:

T p

En general, per determinar les r magnituds escalars en un punt, calen r nombres.

1.2. Vector.

Per determinar la magnitud de velocitat d’un cos en un punt d’un pla amb el sistema de coordenades (x,y), calen 2 nombres. La seva representació tipogràfica genèrica es fa amb una lletra en cursiva negreta, per exemple, v ; llavors, els 2 nombres formen el conjunt:

v_x v_y

La seva representació gràfica es fa amb una fletxa sobre un pla. El conjunt d’aquests 2 nombres defineix el vector, dit també tensor d’ordre 1.

Per determinar la magnitud de força aplicada a un cos en un punt de l’espai que coincideix amb l’origen de coordenades, calen 3 nombres (precisament perquè aquesta magnitud es mesura en l’espai). La seva representació tipogràfica genèrica es fa amb una lletra en cursiva negreta (per exemple, f ); la seva representació gràfica es fa amb una fletxa, tal com en la figura 1, on es constata que els 3 nombres són les coordenades de la punta de la fletxa. El seu conjunt és:

f_x f_y f_z

El conjunt d’aquests 3 nombres defineix el vector, dit també tensor d’ordre 1.

Figura 1. Vector f amb coordenades f_X , f_Y , f_z

en un sistema de coordenades (X, Y, Z) i origen O.

Per determinar les 2 magnituds velocitat i força centrípeta d’un cos en un punt d’un cos que gira en un pla amb el sistema de coordenades (x, y) al voltant d’un eix fix, calen 4 nombres. La seva representació tipogràfica genèrica es fa amb lletres en cursiva negreta, per exemple, v, f ; llavors, els 4 nombres serien el conjunt que anomenem matriu de 2 files i 2 columnes:

v_x v_y

f_x f_y

Un vector en sí no canvia quan se li fa un canvi de coordenades, però sí canvien els nombres que defineixen el vector.

En general, per determinar 1 magnitud en un punt d’un sistema de d coordenades, calen d nombres. No és possible representar gràficament un sistema de més de 3 coordenades que estiguin mesurades en longituds, ja que el nostre espai físic només té 3 dimensions. No obstant és possible representar un sistema de més de 3 coordenades que no estiguin mesurades en longituds; un exemple és l’enrevessat diagrama de Mollier que mostra 4 característiques del vapor d’aigua i en que les 4 coordenades són: temperatura, pressió, entropia i entalpia.

1.3. Tensor d’ordre 2 i superior.

En general, per determinar les r magnituds d’un punt d’un sistema de d coordenades, calen rd nombres. La seva representació tipogràfica genèrica és amb la matriu:

Aquesta matriu de nombres no té perquè ser un tensor. Fins ara hem anat mostrant nombres atribuïts a un punt de l’espai; naturalment, podem considerar per separat una quantitat finita de punts aïllats. Però considerem ara que en lloc de punts aïllats considerem r funcions continues derivables en una regió de l’espai que no necessàriament és l’espai físic de 3 dimensions lineals; i que pot tenir una quantitat d de dimensions superior a 3. Si en canviar de sistema de coordenades, aquests funcions es transformen en altres seguint unes equacions en derivades parcials que no especificarem aquí, llavors la matriu passa a denominar-se tensor i és rang r-1. Es pretén generalitzar el concepte de tensor als escalars i als vectors. La representació tipogràfica genèrica d’un tensor, per exemple 3 funcions i 3 dimensions, és la següent matriu entre parèntesis:

_op

També es pot representar breument amb una sola lletra amb subíndexs genèrics: f_ij

Es pot demostrar que es poden fer operacions matemàtiques amb els tensors, tals com suma, resta , ... que els fan útils especialment en la teoria de la relativitat general.

2. Exemples de representació de tensors.

Designarem amb d la quantitat de dimensions (1, 2, 3, 4, ...).

Designarem amb r la quantitat de rangs (0, 1, 2, 3, ...).

Designarem amb f els elements (poden ser nombres o funcions) i tindran els subíndexs que calguin. La quantitat d’elements és: e = d ^r.

2.1. Escalar o tensor de dimensió 1 i rang 0.

d = 1 r = 0 e = 1⁰ = 1

Representació:

f

2.2. Vector o tensor de dimensió 2 i rang 1.

d = 2 r = 1 e = 2¹ = 2

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f1

f2

Breument: f_i (amb i variant de 1 a 2).

2.3. Vector o tensor de dimensió 3 i rang 1.

d = 3 r = 1 e = 3¹ = 3

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f1

f2

f3

Breument: f_i (amb i variant de 1 a 3).

2.4. Vector o tensor de dimensió 4 i rang 1.

d = 4 r = 1 e = 4¹ = 4

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f1

f2

f3

f4

Breument: f_i (amb i variant de 1 a 4).

2.5. Tensor de dimensió 1 i rang 2.

d = 1 r = 2 e = 1² = 1

Representació:

f

2.6. Tensor de dimensió 2 i rang 2.

d = 2 r = 2 e = 2² = 4

Representació(es pot posar entre parèntesi):

f11	f12
f21	f22

Breument: f_ij (amb i variant de 1 a 2, amb j variant de 1 a 2, en totes les combinacions possibles).

2.7. Tensor de dimensió 3 i rang 2.

d = 3 r = 2 e = 3² = 9

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f11	f12	f13
f21	f22	f23
f31	f32	f33

Breument: f_ij (amb i variant de 1 a 3, amb j variant de 1 a 3, en totes les combinacions possibles).

2.8. Tensor de dimensió 4 i rang 2.

d = 4 r = 2 e = 4² = 16

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f11	f12	f13	f14
f21	f22	f23	f24
f31	f32	f33	f34
f41	f42	f43	f44

Breument: f_ij (amb i variant de 1 a 4, amb j variant de 1 a 4, en totes les combinacions possibles).

2.9. Tensor de dimensió 1 i rang 3.

d = 1 r = 3 e = 1³ = 1

Representació:

f

2.10. Tensor de dimensió 2 i rang 3.

d = 2 r = 3 e = 2³ = 8

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f111	f112
f121	f122
f211	f212
f221	f222

Breument: f_ijk (amb i variant de 1 a 2, amb j variant de 1 a 2, amb k variant de 1 a 2, en totes les combinacions possibles).

2.11. Tensor de dimensió 3 i rang 3.

d = 3 r = 3 e = 3³ = 27

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f111	f112	f113
f121	f122	f123
f131	f132	f133
f211	f212	f213
f221	f222	f223
f231	f231	f233
f311	f312	f313
f321	f322	f323
f331	f332	f333

Breument: f_ijk (amb i variant de 1 a 3, amb j variant de 1 a 3, amb k variant de 1 a 3, en totes les combinacions possibles).

2.12. Tensor de dimensió 4 i rang 3.

d = 4 r = 3 e = 4³ = 64

Representació (es pot posar entre parèntesi):

f111	f112	f113	f114
f121	f122	f123	f124
f131	f132	f133	f134
f141	f142	f143	f144
f211	f212	f213	f214
f221	f222	f223	f224
f231	f231	f233	f234
f241	f242	f243	f244
f311	f312	f313	f314
f321	f322	f323	f324
f331	f332	f333	f334
f341	f342	f343	f344

Breument: f_ijk (amb i variant de 1 a 3, amb j variant de 1 a 3, amb k variant de 1 a 3, en totes les combinacions possibles).

2.13. Tensor de dimensió 4 i rang 4.

d = 4 r = 4 e = 4⁴ = 256 (como el tensor de Riemann)

Representació (es pot posar entre parèntesi) que continua a les pàgines següents:

f1111	f1112	f1113	f1114
f1121	f1122	f1123	f1124
f1131	f1132	f1133	f1134
f1141	f1142	f1143	f1144
f1211	f1212	f1213	f1214
f1221	f1222	f1223	f1224
f1231	f1232	f1233	f1234
f1241	f1242	f1243	f1244
f1311	f1312	f1313	f1314
f1321	f1322	f1323	f1324
f1331	f1332	f1333	f1334
f1341	f1342	f1343	f1344
f1411	f1412	f1413	f1414
f1421	f1422	f1423	f1424
f1431	f1432	f1433	f1434
f1441	f1442	f1443	f1444
f1111	f1112	f1113	f1114
f1121	f1122	f1123	f1124
f1131	f1132	f1133	f1134
f1141	f1142	f1143	f1144
f1211	f1212	f1213	f1214
f1221	f1222	f1223	f1224
f1231	f1232	f1233	f1234
f1241	f1242	f1243	f1244
f1311	f1312	f1313	f1314
f1321	f1322	f1323	f1324
f1331	f1332	f1333	f1334
f1341	f1342	f1343	f1344
f1411	f1412	f1413	f1414
f1421	f1422	f1423	f1424
f1431	f1432	f1433	f1434
f1441	f1442	f1443	f1444
f2111	f2112	f2113	f2114
f2121	f2122	f2123	f2124
f2131	f2132	f2133	f2134
f2141	f2142	f2143	f2144
f2211	f2212	f2213	f2214
f2221	f2222	f2223	f2224
f2231	f2232	f2233	f2234
f2241	f2242	f2243	f2244
f2311	f2312	f2313	f2314
f2321	f2322	f2323	f2324
f2331	f2332	f2333	f2334
f2341	f2342	f2343	f2344
f2411	f2412	f2413	f2414
f2421	f2422	f2423	f2424
f2431	f2432	f2433	f2434
f2441	f2442	f2443	f2444
f3111	f3112	f3113	f3114
f3121	f3122	f3123	f3124
f3131	f3132	f3133	f3134
f3141	f3142	f3143	f3144
f3211	f3212	f3213	f3214
f3221	f3222	f3223	f3224
f3231	f3232	f3233	f3234
f3241	f3242	f3243	f3244
f3311	f3312	f3313	f3314
f3321	f3322	f3323	f3324
f3331	f3332	f3333	f3334
f3341	f3342	f3343	f3344
f3411	f3412	f3413	f3414
f3421	f3422	f3423	f3424
f3431	f3432	f3433	f3434
f3441	f3442	f3443	f3444
f4111	f4112	f4113	f4114
f4121	f4122	f4123	f4124
f4131	f4132	f4133	f4134
f4141	f4142	f4143	f4144
f4211	f4212	f4213	f4214
f4221	f4222	f4223	f4224
f4231	f4232	f4233	f4234
f4241	f4242	f4243	f4244
f4311	f4312	f4313	f4314
f4321	f4322	f4323	f4324
f4331	f4332	f4333	f4334
f4341	f4342	f4343	f4344
f4411	f4412	f4413	f4414
f4421	f4422	f4423	f4424
f4431	f4432	f4433	f4434
f4441	f4442	f4443	f4444

Breument: f_ijkl (amb i variant de 1 a 4, amb j variant de 1 a 4, amb k variant de 1 a 4. amb l variant de 1 a 4, en totes les combinacions possibles)

3. Definició de tensor.

Per fer més entenedor el concepte de tensor, fins aquí hem emprat exemples del món físic. Per definir el tensor, passem ara al camp de les matemàtiques.

El conjunt dels intervals en que les funcions són continues i derivables s’anomenen camp tensorial.

Nomenclatura:

f és el tensor abans del canvi de sistema de coordenades.

f’ és el tensor després del canvi de sistema de coordenades.

x són les coordenades abans del canvi de sistema de coordenades.

x’ són les coordenades després del canvi de sistema de coordenades.

indica derivada parcial.

Els subíndexs indiquen grups d’elements de tensor covariant.

Els superíndexs indiquen grups d’elements de tensor contravariant.

Un tensor és un conjunt de d ^r elements (o sigui la quantitat d’elements de les combinacions amb repetició de d elements agafats de r en r); aquests elements poden ser nombres o funcions (continues i derivables en intervals) tals que si se’ls fa un canvi de sistema de coordenades, dits elements es transformen segons una de les 3 equacions següents:

(la quantitat de subíndexs de f, de f’ i de trencats és r ; el tensor s’anomena covariant).

(la quantitat de superíndexs de f, de f’ i de trencats és r ; el tensor s’anomena contravariant).

(la quantitat de subíndex de f, de f’ i de trencats és r ; el tensor s’anomena mixt; en aquest cas, s’ha escrit una vegada covariant i dues vegades contravariant).

Per representar tipogràficament un tensor es pot fer de forma abreujada amb una lletra amb tants subíndexs com indica el rang o bé en una matriu amb tantes columnes com indica la dimensió.

4. Expressió de les 10 equacions d’Einstein.

Einstein va inventar la teoria de la relativitat general. Aquesta teoria es resumeix en 10 equacions dites de camp. L’expressió més simple d’aquestes 10 equacions és l’equació:

[1]

En que, emprant un sistema d’unitats poc corrent:

G_μν és el tensor anomenat d’Einstein.

8π (vuit pi) és un factor que cal perquè dita equació lligui amb la teoria de la gravitació universal de Newton.

T_μν és el tensor d’energia-moment; té 16 elements i pel fet de ser simètrica, només 10 dels elements són diferents; d’aquí que només hi han les 10 equacions mencionades.

L’equació [1] expressa que la curvatura de l’espai-temps (és a dir, la forma geomètrica del conjunt de les línies geodèsiques dels raigs de fotons) d’una regió de l’univers (representada pel membre de l’esquerra) és provocada per la distribució de la densitat d’energia i moment d’aquesta regió (representada pel membre de la dreta). Dita curvatura defineix la trajectòria dels fotons i la matèria.

L’equació [1] no tant simplificada s’escriu:

[2]

En que, amb el sistema internacional d’unitats:

R_μν és el tensor de Ricci.

g_μν és el tensor mètric.

R és l’escalar de Ricci.

Λ és la constant cosmològica.

c és la constant de la llum (que té el mateix nombre que el nombre de la velocitat de la llum en qualsevol sistema d’unitats).

T_μν és el tensor d’energia-moment.

5. Aplicacions de les 10 equacions a dos casos particulars.

En el cas d’una regió de l’univers buida (que fa T_μν = 0) i suposant nul·la la constant cosmològica es compleix:

[3]

En el cas d’un cos esfèric sense càrrega elèctrica ni moviment angular, a fora d’ell es compleix l’equació dita mètrica de Schwartzchild:

[4]

En que:

dt és el diferencial de temps.

c és la constant de la llum (que té el mateix nombre que el nombre de la velocitat de la llum en qualsevol sistema d’unitats).

ds és el diferencial del interval d’espai-temps definits per l’equació de la teoria de la relativitat especial:

i en que dx, dy i dz són els diferencials de les coordenades.

G és la constant gravitatòria.

M és la massa del cos esfèric.

r és la coordenada radial.

dr és el diferencial de la coordenada radial del punt considerat.

θ és l’angle entre la part positiva de l’eix z i la recta que passa per l’origen i pel punt considerat, mesurat en radians.

φ és l’angle entre la part positiva de l’eix x i la recta que passa per l’origen i la projecció del punt considerat sobre el pla (x, y), mesurat en radiants.

Torna a l’Índex.