Problema de la plomada

Enunciat:

S’ha fet una rasa de 50 m de longitud, 50 m d’amplada i 12 m de fondària a Barcelona (on l’acceleració de la gravetat g és 9,803057 m/s²), tal com indica la figura següent. La terra sobrera s’ha portat lluny. Es posa una plomada arran de la paret de la rasa. Es pregunta quina desviació té la plomada al fons de la rasa degut als 3 efectes més important. La densitat de la terra extreta és de 2000 kg/m³.

La resolució és a la pàgina següent.

Resolució:

1. Desviació degut al buit.

La plomada està sotmesa a la força gravitatòria f₁ de la Terra. En fer la rasa, la plomada ja no està atreta gravitatòriament per la terra extreta, per tant apareix una força gravitatòria f₂ de mòdul igual a l’atracció gravitatòria de la terra extreta, direcció des del centre de gravetat fins a la plomada i sentit contrari a dita força, tal com indica la figura següent on f₁ i f₂ no estan a escala.

La component f₃ de f₂ se suma a f₁ i dóna f₄ que és la força resultant que desviarà la plomada i indica la direcció de la plomada.

Sigui:

r_p = distància de la plomada al centre de gravetat de la terra que tenia la rasa

m_p = massa de la plomada

m_r = massa faltant de la rasa

m_t = massa de la Terra = 6·10²⁴ kg

r_t = radi de la Terra = 6,37·10⁶ m

G = constant gravitatòria

Llavors:

Desviació de la plomada = 12 · tan b = 12 · 5,97 · 10^-7 = 7,16 · 10^-6 m = 0,00716 mm

És a dir:

Degut al buit de massa de la rasa, la plomada té una desviació de 0,00716 mm respecta a la vertical i amb el sentit allunyant-se de la paret.

2. Desviació degut a la esfericitat de la Terra.

Els plans de les parets de la rasa passen teòricament pel centre de la Terra i, per tant, no són paral·leles, tal com es veu a la figura següent que no té les mides de la rasa a escala.

Per semblança de triangles:

És a dir:

Degut a la esfericitat de la Terra, la plomada té una desviació de 0,04709 mm formant un trapezi de base menor que el costat paral·lel a la base.

3. Desviació degut al moviment de rotació de la Terra.

La fil de la plomada ha de reaccionar la força gravitatòria amb la força P i ha de reaccionar al efecte centrífug amb la força centrípeta C (paral·lela a l’equador). La suma vectorial de les dues forces és la força de tensió del fil T. La ordenada y es dibuixa alineada amb T. La abscissa x es dibuixa perpendicular a la ordenada. La latitud de Barcelona és:

L’angle de desviació de la plomada respecte al radi terrestre és λ.

Projectant sobre x, s’ha de complir:

Projectant sobre y, s’ha de complir:

Dividint les dues equacions anteriors queda:

Per altra banda, sent:

m = massa de la plomada

ω = velocitat angular de la plomada

r = radi que descriu la plomada al girar la Terra

tenim:

λ = 0,00170038558 rad = 0,00170038558 rad · 57,2958 graus/rad = 0,097425 graus

Desviació d en 12 m:

d = 12 · tan λ = 12 · 0,00170038558 = 0,0204 m = 20,4 mm

És a dir:

Degut al moviment de rotació de la Terra, la plomada té una desviació de 20,4 mm en les parets nord i sud amb el sentit d’acostar-se a l’equador; la plomada no té cap desviació en les parets est i oest.

4. Conclusió.

Degut al buit de massa de la rasa, la plomada té una desviació de 0,00716 mm respecta a la vertical i amb el sentit allunyant-se de la paret.

Degut a la esfericitat de la Terra, la plomada té una desviació de 0,04709 mm formant un trapezi de base menor que el costat paral·lel a la base.

Degut al moviment de rotació de la Terra, la plomada té una desviació de 20,4 mm en les parets nord i sud amb el sentit d’acostar-se a l’equador; la plomada no té cap desviació en les parets est i oest.

Tornar a l’Índex.